10. Lösung der Einstiegsaufgabe und weitere Übungsaufgaben
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Bei dem Glücksspiel aus Kapitel 1 handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge 5.
Als Treffer gilt:
Der Zeiger des Glücksrades befindet sich nach der Drehung auf dem blauen Feld.
Als Treffer gilt:
Der Zeiger des Glücksrades befindet sich nach der Drehung auf dem blauen Feld.
Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p =
| 1 |
| 4 |
.
Der Spieler erhält 50 Euro, wenn er mindestens 4 Treffer hat.
Die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 4) muss berechnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 4) muss berechnet werden.
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5)
P(X = 4) =
(
| 5 |
| 4 |
)
⋅ (
| 1 |
| 4 |
)4 ⋅ (1 −
| 1 |
| 4 |
)5 − 4
= 5 ⋅ (
| 1 |
| 4 |
)4 ⋅ (
| 3 |
| 4 |
)1 =
| 15 |
| 1024 |
P(X = 5) =
(
| 5 |
| 5 |
)
⋅ (
| 1 |
| 4 |
)5 ⋅ (1 −
| 1 |
| 4 |
)5 − 5
= 1 ⋅ (
| 1 |
| 4 |
)5 ⋅ (
| 3 |
| 4 |
)0 =
| 1 |
| 1024 |
P(X ≥ 4) =
| 15 |
| 1024 |
+
| 1 |
| 1024 |
=
| 16 |
| 1024 |
=
| 1 |
| 64 |
≈ 0,0156
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei diesem Glücksspiel 50 Euro erhält, beträgt also nur ca. 1,56 %.
In der Stochastik gilt das Gesetz der großen Zahlen:
Wird ein Versuch sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses oder Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit.
Wird ein Versuch sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses oder Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit.
Nehmen Sie an, Sie würden das Glücksspiel 1000mal durchführen. Die relative Häufigkeit des Ereignisses "mindestens 4 Treffer" würde dann ungefähr 1,56 % betragen und die absolute Häufigkeit ca. 1000 ⋅ 0,0156 ≈ 16.
Es ist also zu erwarten, dass ungefähr 16 Mal der Fall eintritt, dass Sie einem Spieler 50 Euro zahlen müssen. Den Ausgaben von ca. 800 Euro ständen dann allerdings Einnahmen von 1000 Euro gegenüber, da Sie ja pro Glücksspiel 1 Euro als Einsatz erhalten. Somit können Sie erwarten, dass Sie bei der Durchführung einer sehr großen Anzahl von Spielen eher Gewinn als Verlust machen.
Es ist also zu erwarten, dass ungefähr 16 Mal der Fall eintritt, dass Sie einem Spieler 50 Euro zahlen müssen. Den Ausgaben von ca. 800 Euro ständen dann allerdings Einnahmen von 1000 Euro gegenüber, da Sie ja pro Glücksspiel 1 Euro als Einsatz erhalten. Somit können Sie erwarten, dass Sie bei der Durchführung einer sehr großen Anzahl von Spielen eher Gewinn als Verlust machen.
Übungsaufgaben:
Aufgabe 1:
Aus einem Skatkartenspiel wird viermal hintereinander jeweils eine Karte gezogen und anschließend wieder zurückgesteckt. Nach jedem Ziehen wird das Kartenspiel neu gemischt. Als Treffer soll gelten: "Die gezogene Karte ist ein König."
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens ein Treffer vorhanden sein wird.
Aus einem Skatkartenspiel wird viermal hintereinander jeweils eine Karte gezogen und anschließend wieder zurückgesteckt. Nach jedem Ziehen wird das Kartenspiel neu gemischt. Als Treffer soll gelten: "Die gezogene Karte ist ein König."
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens ein Treffer vorhanden sein wird.
Lösung:
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Runden Sie das Endergebnis auf die 4. Nachkommastelle.
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Runden Sie das Endergebnis auf die 4. Nachkommastelle.
P( X ≤ ) =
P( X = ) +
P( X = )
P( X = ) =
(
)
⋅ (
) ⋅ (1 −
) − = ⋅ (
) ⋅ (
) =
P( X = ) =
(
)
⋅ (
) ⋅ (1 −
) − = ⋅ (
) ⋅ (
) =
P( X ≤ ) =
+
=
≈
Aufgabe 2:
Ein Schüler nimmt an einem Multiple-Choice-Test mit acht Fragen teil. Zu jeder Frage gibt es fünf Antworten. Nur eine Antwort ist richtig. Der Schüler hat nicht gelernt und muss bei jeder Frage raten. Als Treffer soll gelten: "Der Schüler kreuzt die richtige Antwort an."
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Schüler mindestens sechs richtige Antworten ankreuzen wird.
Ein Schüler nimmt an einem Multiple-Choice-Test mit acht Fragen teil. Zu jeder Frage gibt es fünf Antworten. Nur eine Antwort ist richtig. Der Schüler hat nicht gelernt und muss bei jeder Frage raten. Als Treffer soll gelten: "Der Schüler kreuzt die richtige Antwort an."
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Schüler mindestens sechs richtige Antworten ankreuzen wird.
Lösung:
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Runden Sie das Endergebnis auf die 4. Nachkommastelle.
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Runden Sie das Endergebnis auf die 4. Nachkommastelle.
P( X ≥ ) =
P( X = ) +
P( X = ) +
P( X = )
P( X = ) =
(
)
⋅ (
) ⋅ (1 −
) − = ⋅ (
) ⋅ (
) =
P( X = ) =
(
)
⋅ (
) ⋅ (1 −
) − = ⋅ (
) ⋅ (
) =
P( X = ) =
(
)
⋅ (
) ⋅ (1 −
) − = ⋅ (
) ⋅ (
) =
P( X ≥ ) =
+
+
=
≈
Aufgabe 3:
Eine Sportlerin wirft fünf Mal nacheinander auf einen Basketballkorb. Sie hat beim Korbwurf erfahrungsgemäß eine Trefferquote von 60%. Als Treffer soll gelten: "Der Basketball fällt in den Korb."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sportlerin höchstens zwei Treffer hat.
Eine Sportlerin wirft fünf Mal nacheinander auf einen Basketballkorb. Sie hat beim Korbwurf erfahrungsgemäß eine Trefferquote von 60%. Als Treffer soll gelten: "Der Basketball fällt in den Korb."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sportlerin höchstens zwei Treffer hat.
Lösung:
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Geben Sie die Trefferquote als Dezimalzahl ein. Berechnen Sie die Ergebnisse ohne zu runden.
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Geben Sie die Trefferquote als Dezimalzahl ein. Berechnen Sie die Ergebnisse ohne zu runden.
P( X ≤ ) =
P( X = ) +
P( X = ) +
P( X = )
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X ≤ ) =
+ + =
Aufgabe 4:
Zur Behandlung einer Krankheit erhalten sechs Patienten ein Medikament, das erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% zur Heilung von dieser Krankheit führt. Als Treffer soll gelten: "Der Patient ist geheilt."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens vier Patienten geheilt werden.
Zur Behandlung einer Krankheit erhalten sechs Patienten ein Medikament, das erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% zur Heilung von dieser Krankheit führt. Als Treffer soll gelten: "Der Patient ist geheilt."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens vier Patienten geheilt werden.
Lösung:
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Geben Sie die Trefferquote als Dezimalzahl ein. Berechnen Sie die Ergebnisse ohne zu runden.
Füllen Sie die Eingabefelder aus. Geben Sie die Trefferquote als Dezimalzahl ein. Berechnen Sie die Ergebnisse ohne zu runden.
P( X ≥ ) =
P( X = ) +
P( X = ) +
P( X = )
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X = ) =
(
)
⋅ ⋅ ( 1 − ) − =
⋅ ⋅
=
P( X ≥ ) =
+ + =