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Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

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Dieses Kapitel erklärt, wie man den Wert eines bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion exakt berechnen kann.
Der Wert eines bestimmten Integrals der Form 
 b
 ∫
f(x)
dx
a
kann exakt berechnet werden, wenn man zum Integranden f eine Stammfunktion F bestimmen kann.
Dann kann man nämlich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung anwenden. Er lautet:
 b
 ∫
f(x)
dx
a
   =   F(b)  −  F(a)
Die Anwendung des Hauptsatzes wird nachfolgend an einem Beispiel erklärt.
Aufgabe:
Für die Funktion f mit  f(x) =  - 
2
3
 · x3 + 6 · x2 + x - 5  soll der Wert des Integrals
 4
 ∫
f(x)
dx
1
rechnerisch ermittelt werden.
Lösung:
1.   Bestimmung einer Stammfunktion F von f
(siehe Kapitel "Bestimmung von Stammfunktionen")
f(x) =  - 
2
3
 · x3 + 6 · x2 + x - 5
F(x)
=  - 
2
3
 · 
1
4
 · x4 + 6 · 
1
3
 · x3 + 
1
2
 · x2 - 5 · x
=  - 
2
12
 · x4 + 
6
3
 · x3 + 
1
2
 · x2 - 5 · x
=  - 
1
6
 · x4 + 
2 · x3 + 
1
2
 · x2 - 5 · x
2.   Anwendung des Hauptsatzes
 4
 ∫
f(x)
dx
1
=   F(4)  −  F(1)
=   
220
3
  −  (- 
8
3
 )
( ≈  73,333  −  (- 2,667) )
=   
228
3
( =  76)
Hinweis:   Der mathematische Operator "rechnerisch ermitteln" bzw. "rechnerisch bestimmen" verlangt die Bestimmung einer Stammfunktion und die Anwendung des Hauptsatzes. Die Funktionswerte dürfen jedoch mit dem GTR berechnet werden.
Übung zur rechnerischen Bestimmung von Integralwerten
Klicken Sie auf den Button, um eine neue Aufgabe zu erzeugen.
Neue Aufgabe
Aufgabe:
Ermitteln Sie rechnerisch für die Funktion f mit  f(x) =  
- 
 · x3 
+ 
 · x2 
- 
 · x 
+ 

den Wert des Integrals  
 ∫
f(x)
dx.
Lösung:
1.   Bestimmung einer Stammfunktion F von f
f(x) =  
- 
 · x3 
+ 
 · x2 
- 
 · x 
+ 
Füllen Sie die Eingabefelder aus.
F(x)
=  
- 
 · 
1
 · x
 
+ 
 · 
1
 · x
 
+ 
 · 
1
 · x
 
+ 
 · x
=  
- 
 · x
 
+ 
 · x
 
+ 
 · x
 
+ 
 · x
Brüche kürzen →
nicht möglich
=  
- 
 · x
 
+ 
 · x
 
+ 
 · x
 
+ 
 · x
Kontrolle
Lösung
2.   Anwendung des Hauptsatzes
Wählen Sie durch Anklicken aus, ob die Funktionswerte (FW) als Bruchzahl (B) oder Dezimalzahl (D) eingegeben werden sollen. Runden Sie alle Dezimalzahlen auf die 3. Nachkommastelle und ersetzen Sie das Komma durch einen Punkt. Geben Sie an, ob die Funktionswerte positiv oder negativ sind, um die Eingabeform anzupassen.
 ∫
f(x)
dx
=
F( 
 )  −  F( 
 )
=
   −   
1. FW:
2. FW:
=
Ergebnis:
Kontrolle
Lösung
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