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Näherungsweise Berechnung von Integralwerten mit Ober- und Untersummen

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Zu Beginn der Integralrechnung wurden Integralwerte mit Hilfe sogenannter Ober- und Untersummen näherungsweise ermittelt. Die Vorgehensweise wird nachfolgend an zwei Beispielen erklärt und kann anschließend geübt werden.
Beispiel 1
✔
Aufgabe:
Für die Funktion f mit  f(x) = 0,3x2 - 0,6x + 1,3  soll der Wert des Integrals
 4
 ∫
f(x)
dx
2
näherungsweise ermittelt werden.
Der Wert des gesuchten Integrals entspricht dem orientierten Flächeninhalt der schraffierten Fläche. Da die Fläche oberhalb der x‑Achse liegt, ist der orientierte Flächeninhalt positiv. Der Wert des Integrals stimmt mit dem tatsächlichen Flächeninhalt der schraffierten Fläche überein.
(→ Geometrische Bedeutung des Integralwertes)
Zu jeder Unter- bzw. Obersumme gehört eine bestimmte Anzahl von Rechtecken, deren orientierte Flächeninhalte addiert werden. Untersummen sind immer kleiner als der gesuchte Integralwert, Obersummen immer größer. Je höher die Anzahl der Rechtecke ist, um so mehr nähert sich die Unter- bzw. Obersumme dem Integralwert.
Im Folgenden soll der gesuchte Integralwert zunächst mit Hilfe von vier Rechtecken annähernd bestimmt werden. Die zugehörige Untersumme wird U4 genannt.
Alle vier Rechtecke sollen die gleiche Breite haben. Deshalb wird die Strecke zwischen den Integrationsgrenzen, also zwischen 2 und 4, in vier gleiche Teile geteilt.

(4 - 2) : 4 = 2 : 4 = 0,5

Jedes Rechteck hat die Breite 0,5 (LE = Längeneinheiten).

Das Intervall [2 ; 4] wird in vier Teilintervalle I1, I2, I3 und I4 unterteilt, zu denen jeweils ein Rechteck gehört.
Da die Untersumme U4 kleiner als der gesuchte Integralwert sein soll, wird in jedem Teilintervall I1, I2, I3, I4 der kleinste Funktionswert gesucht und anschließend ein Rechteck mit der Breite 0,5 und dem kleinsten Funktionswert als Länge gezeichnet.
Im Intervall I1 liegt der kleinste Funktionswert an der Stelle 2.
Das Rechteck im Intervall I1 hat den (orientierten) Flächeninhalt 0,5 ⋅ f(2).
Im Intervall I2 liegt der kleinste Funktionswert an der Stelle 2,5.
Das Rechteck im Intervall I2 hat den (orientierten) Flächeninhalt 0,5 ⋅ f(2,5).
Im Intervall I3 liegt der kleinste Funktionswert an der Stelle 3.
Das Rechteck im Intervall I3 hat den (orientierten) Flächeninhalt 0,5 ⋅ f(3).
Im Intervall I4 liegt der kleinste Funktionswert an der Stelle 3,5.
Das Rechteck im Intervall I4 hat den (orientierten) Flächeninhalt 0,5 ⋅ f(3,5).
Addiert man die (orientierten) Flächeninhalte der vier Rechtecke, erhält man die Untersumme U4:
U4
= 0,5 ⋅ f(2) + 0,5 ⋅ f(2,5) + 0,5 ⋅ f(3) + 0,5 ⋅ f(3,5)

= 0,5 ⋅ (f(2) + f(2,5) + f(3) + f(3,5))

= 0,5 ⋅ (1,3 + 1,675 + 2,2 + 2,875)

= 0,5 ⋅ 8,05

= 4,025
Ein Vergleich der Untersumme U4 mit dem gesuchten Integralwert (= Inhalt der schraffierten Fläche) zeigt, dass der Integralwert noch um einiges größer ist als die Untersumme U4.
Eine bessere Annäherung erhält man, wenn man die Anzahl der Rechtecke vergrößert, also z. B. die Untersumme U8 berechnet.

Jedes der acht Rechtecke hat die Breite (4 - 2) : 8 = 2 : 8 = 0,25.

In jedem der acht Teilintervalle wird wieder der kleinste Funktionswert als Länge des jeweiligen Rechtecks festgelegt.
Die Untersumme U8 kommt dem gesuchten Integralwert (= Inhalt der schraffierten Fläche) schon näher.
Die Untersumme U8 wird entsprechend der Untersumme U4 berechnet:
U8
= 0,25 ⋅ f(2) + 0,25 ⋅ f(2,25) + 0,25 ⋅ f(2,5) + 0,25 ⋅ f(2,75) + 0,25 ⋅ f(3) + 0,25 ⋅ f(3,25) + 0,25 ⋅ f(3,5) + 0,25 ⋅ f(3,75)

= 0,25 ⋅ (f(2) + f(2,25) + f(2,5) + f(2,75) + f(3) + f(3,25) + f(3,5) + f(3,75))

= 0,25 ⋅ (1,3 + 1,46875 + 1,675 + 1,91875 + 2,2 + 2,51875 + 2,875 + 3,26875)

= 0,25 ⋅ 17,225

= 4,30625
Der gesuchte Integralwert kann auch mit Hilfe von Obersummen angenähert werden. Zur Obersumme O4 gehören wie bei der Untersumme U4 vier Rechtecke mit der Breite 0,5. Das Intervall [2 ; 4] wird wieder in vier Teilintervalle I1, I2, I3 und I4 unterteilt. Da die Obersumme O4 größer als der gesuchte Integralwert sein soll, wird in jedem Teilintervall der größte Funktionswert gesucht und dieser als Länge des jeweiligen Rechtecks festgelegt.
Die Obersumme O4 wird entsprechend der Untersumme U4 berechnet:
O4
= 0,5 ⋅ f(2,5) + 0,5 ⋅ f(3) + 0,5 ⋅ f(3,5) + 0,5 ⋅ f(4)

= 0,5 ⋅ (f(2,5) + f(3) + f(3,5) + f(4))

= 0,5 ⋅ (1,675 + 2,2 + 2,875 + 3,7)

= 0,5 ⋅ 10,45

= 5,225
Der gesuchte Integralwert (= Inhalt der schraffierten Fläche) ist deutlich kleiner als die Obersumme O4.
Die Konstruktion der Rechtecke zur Obersumme O8 entspricht der Konstruktion der Rechtecke zur Obersumme O4 (größter Funktionswert als Länge des Rechtecks) und zur Untersumme U8 (0,25 als Breite des Rechtecks).
O8
= 0,25 ⋅ f(2,25) + 0,25 ⋅ f(2,5) + 0,25 ⋅ f(2,75) + 0,25 ⋅ f(3) + 0,25 ⋅ f(3,25) + 0,25 ⋅ f(3,5) + 0,25 ⋅ f(3,75) + 0,25 ⋅ f(4)

= 0,25 ⋅ (f(2,25) + f(2,5) + f(2,75) + f(3) + f(3,25) + f(3,5) + f(3,75) + f(4))

= 0,25 ⋅ (1,46875 + 1,675 + 1,91875 + 2,2 + 2,51875 + 2,875 + 3,26875 + 3,7)

= 0,25 ⋅ 19,625

= 4,90625
Die Obersumme O8 liegt näher am gesuchten Integralwert (= Inhalt der schraffierten Fläche) als die Obersumme O4.
Der Wert des Integrals
 4
 ∫
f(x)
dx
2
liegt also zwischen U8 = 4,30625 und O8 = 4,90625. Er beträgt genau 4,6. Die Annäherung der Unter- und Obersumme an diesen Wert bei steigender Anzahl von Rechtecken kann mit Hilfe des nachfolgenden interaktiven Zeichenelements verdeutlicht werden.
Klicken Sie auf das Kontrollkästchen neben U bzw. O, um die Rechtecke zur Unter- bzw. Obersumme ein- oder auszublenden.

Mit einem Klick auf das Kästchen neben I können Sie die schraffierte Fläche aus- oder einblenden.

Die Variable n gibt die Anzahl der Rechtecke an. Klicken Sie auf das Kästchen neben n, um den Schieberegler für n einzublenden. Bewegen Sie den Schieberegler nach rechts, um die Anzahl der Rechtecke zu erhöhen. Beobachten Sie die Veränderung der Untersumme U bzw. der Obersumme O im Vergleich zum Integralwert I.
Beispiel 1
✔
Geometrische Bedeutung des Integralwertes ← → Bestimmung von Stammfunktionen